קשה להשתחרר מאינטואיציה מטעה: בעית מונטי הול

 

את ד"ר יצחק קאופמן אני מכיר מאז ששנינו היינו שחקני שחמט שלמדו בבית ספר תיכון. 

שיחקנו ביחד בקבוצת אס"א ירושלים בליגה לשחמט. מאז נותק בינינו הקשר לכמה עשרות שנים. 

ידעתי שהוא סיים דוקטורט בפיזיקה ועבד במכון מחקר בדרום הארץ. 

את חידוש הקשר בינינו אנחנו חייבים לבעית מונטי הול. אחת ההטיות בחשיבה האינטואיטיבית, שקשה במיוחד להיגמל ממנה.

הפגישה הראשונה שלי עם בעיית מונטי הול

   

שני מרצים בחוג לפסיכולוגיה בו למדתי באוניברסיטה העברית בשנות ה-70 וה-80 של המאה הקודמת, הובילו שינוי מהותי בחשיבה: ממודל של מקבל החלטות רציונלי למודל של מקבלי החלטות החשופים למגוון רחב של הטיות קוגניטיבות. 

לשניים האלה, שכבר אינם איתנו, קוראים דניאל כהנמן   ועמוס טברסקי. לא זכיתי להשתתף בקורסים שהם לימדו, אבל למדתי אצל תלמידיהם שהפבו למרצים באוניברסיטה והמשיכו לחקור את אותם הנושאים. 

אחת מהן הייתה פרופ' רומה פלק. בלימודי התואר השני למדתי אצלה קורס על חשיבה סטטיסטית. 

היא הציגה את בעית מונטי הול לתלמידי הקורס. רובנו התקשנו להבין את ההיגיון, שנוגד את החשיבה האינטואיטיבית. 

אודה ולא אכחד, גם אני התקשתי להבין. לקח לי זמן עד שהבנתי. 

הרבה שנים אחרי זה כתבתי מאמר העוסק בבעיה זו באתר JokoPost. 

באתר הזה אני עורך את מדור הברידג', המיועד לאו דווקא לשחקני ברידג'. 

במדור אני מנסה להראות דימיון בין ברידג' לתחומים אחרים. 

כך עשיתי גם לגבי בעית מונטי הול והביטוי שלה במשחקי ברידג' הקרוי Principle of Restricted Choice. המונח העברי שבחרתי להשתמש בו הוא עקרון הבחירה המוגבלת. 

אני מצרף קישור למאמר: מכונית אחת, שתי עיזים ובחירה מוגבלת אחת.

המאמר פוסם במאי 2016. כמה שבועות אחרי זה קיבלתי הודעת מייל מד"ר קאופמן. 

אי אפשר לחשוד בד"ר קאופמן שאין לו יכולת אנלטיות והבנה מתמטית. אין ספק שזו אחת החוזקות שלו. למרות זאת, גם הוא התקשה להיגמל מהאינטואיציה המטעה בבעיית מונטי הול. 

חברו הטוב, שעבד ביחד איתו, ישב איתו והסביר לו את הנושא עד שהוא הבין אותו. 

אחרי שחברו נפטר, הוא כתב לזכרו מאמר בעיתון פנימי של עובדי אותו ארגון. המאמר לזכרו עסק בבעיית מונטי הול. 

אחד מהעובדים איתו נחשף למאמר שלי ב-JokoPost. העובד אמר לו שבאותו שבוע שהוא כתב את המאמר עוד מישהו כתב מאמר על אותו נושא וצרף קישור. ד"ר קאופמן הגיע למאמר שלי וחידשנו את הקשר. 

המפתח להבנת ההטיה האינטואיטיבית

 

המפתח להבנת הבעיה הוא ההבדל בין הסתברות לבין הסתברות מותנית. 

כך למשל, תוחלת החיים הוא מונח המבוסס על הסתברות להגיע לגיל מסוים. תוחלת החיים בישראל, נכון לשנת 2024, היא בערך 80 שנים. 

אם אתה אדם בן 70, תוחלת החיים המותנית שלך בהתחשב בגילך גבוהה במספר שנים. 

מדוע? 

משום שמי שהגיע לגיל 70 כבר לא יכול למות בגיל מוקדם יותר ממחלה או מתאונה או משירות צבאי או להירצח בגיל צעיר יותר.

במקרה של בעית מונטי הול הגורם שהשתנה הוא שמונטי הול בארה"ב (או אברי גלעד בגרסה בטלוויזיה הישראלית) יודע מאחורי איזו דלת יש מכונית. 

ההסתברות המותנית משתנה כשהוא פותח דלת ומאחוריה יש עז. 

לו היה מדובר באדם שאינו יודע מאחורי איזו דלת יש עז, ההסתברות המותנית לא הייתה משתנה והייתה נשארת 50% לכל אחת מהדלתות. 

אין ספק שזה לגמרי לא אינטואיטיבי.

ההשלכות בהחלטת כלכליות של משפחות

אני מתייחס בפסקה זו להשלכות של שימוש אינטואיטיבי בהסתברות במקום שימוש בהסתברות מותנה. אביא  שתי דוגמאות.

 תכנון כלכלי בגיל פרישה  

אם הגעת לגיל פרישה, ההסתברות המותנית של תוחלת החיים שלך גדלה בכמה שנים.

צריך לתכנן את ההתנהלות הכלכלית לטווח של כמה שנים מעבר לתוחלת החיים. כדאי גם להוסיף טווח ביטחון.

אחרי גיל הפרישה בדרך כלל ההוצאות גדולות מההכנסות והחל מגיל 75 ומעלה ההסתברות להוצאות גדולות, למשל: דיור מוגן, מצב סיעודי, צורך בעזרה בתשלום כספי, גדלה.

אגב, אם את או אתה בני משפחה, שרבים בה הגיעו לגיל מופלג, התיחסו גם להיבט זה כהסתברות מותנה לתוחלת חים גבוהה עוד יותר.

משכנתא  

ההסתברות המותנית של עבוד לא מיומן בגיל 40 שלא לעמוד בהחזרים החודשיים של משכנתא גדולה מההסתברות המותנית של סטודנט לרפואה, להנדסה או למדעי המחשב שלא לעמוד בהחזרים. 

קרוב לודאי שאחרי שהסטודנט יסיים את לימודיו, שכרו יהיה גבוה וימשיך לעלות עם השנים.

ספק האם העובד הלא מיומן לא יפוטר וסיכוייו לשכר גבוה משמעותית קטנים.

לחשוב אחרת - חלק 2: מאפיינים ייחודיים של בעיה

איור: הבעיה של מונטי הול. מקור: ויקיפדיה

בחלק הראשון של הפוסט שכותרתו: לחשוב אחרת או מתי אין חוכמה בחוכמת ההמונים התייחסתי לשני סוגי מצבים בהם קשה להסתמך על דעתם של אחרים ויש מקום לחשוב באופן שונה מאחרים. בפוסט הבאתי מספר דוגמאות למצבים מהסוג הראשון, בהם אינטראקציה חברתית בין אנשים, משפיעה על דעתם בכיוון של אחידות דעות. בחלק זה אביא דוגמאות למצבים מהסוג השני, הדורשים זיהוי מאפיין ייחודי של בעיה. היות שמרבית האנשים מתקשים בזיהוים, יש קושי בהסתמכות על חוכמת ההמונים. הדוגמאות הן ממגוון תחומים. אתם מוזמנים לדלג על תחומים, שאין לכם עניין בהם ולהתמקד בדוגמאות מתחומים המדברים אליכם. 

מאפיין ייחודי - הבעיה של מונטי הול

הבעיה של מונטי הול או הפרדוקס של מונטי הול, היא דוגמה למצב בו מרבית האנשים טועים. לולא היה זה המצב, ספק גדול אם היה שעשועון טלוויזיה מצליח בארה"ב (וגרסה ישראלית שלו בהנחיית אברי גלעד).

השעשועון נקרא Let's Make a Deal. מונטי הול היה המנחה. כפי שניתן לראות באיור יש שלוש דלתות. מאחורי שתיים נמצאות עיזים ומאחורי אחת מכונית. המשתתף מנחש דלת. המנחה פותח דלת אחרת ומאחוריה עז. למשתתף יש זכות לבחור בין הבחירה הראשונה שלו לבין הדלת השלישית. 

הפתרון הנכון הוא, שכדאי למשתתף לבחור בדלת השלישית, משום שלאחר פתיחת דלת שמאחוריה עז, ההסתברות שמאחורי הדלת השלישית יש מכונית היא שני שליש. רוב האנשים טועים וחושבים,  שההסתברות שהמכונית מאחורי הדלת שנבחרה היא חצי. בדיוק כמו ההסתברות למצוא אותה מאחורי הדלת השלישית (זו שהמנחה לא פתח).

המאפיין הייחודי הוא, שפתיחת דלת על ידי המנחה, שינתה את ההסתברויות מהסתברויות שוות לשתי הדלתות האחרות לשני שליש לעומת שליש. לא אכנס להסבר הסטטיסטי המסובך, המבוסס על חוק בייס. מה שברור, שהפתרון הנכון מנוגד לאינטואיציה.

הסתמכות  על חוכמת ההמונים בהקשר זה, תוביל אותנו למסקנה מוטעית.

מאפיין ייחודי - קבלת החלטות בטכנולוגיית המידע

לפני לא מעט שנים התבקשתי על ידי לקוח להמליץ עבורו מערכת הפעלה למחשב, עליו תופעל מערכת המידע הקריטית ביותר לארגון מבחינה עסקית. הבחירה הייתה בין מערכת הפעלה UNIX לבין מערכת הפעלה קניינית.

בתהליך הבחירה היו לי (כמו במקרים רבים אחרים) אילוצים ומגבלות.

להלן רשימת האילוצים העיקריים:
1. מערכת המידע הקריטית הייתה צריכה להיות מוסבת או להיכתב מחדש בפרק זמן קצר ומוגדר מראש, ללא אפשרות גלישה ממנו.
2. הוגדר מראש הספק ממנו קונים שרת ומערכת הפעלה.
3. ניתנו לי יומיים לבצע את העבודה. כולל איסוף חומר, פגישות עם הספק ופגישות עם עובדי יחידת מערכות המידע של הארגון.
חשוב לציין כי במשך זמן ארוך היו ויכוחים בארגון בשאלה האם לתפעל את המערכות תחת מערכות הפעלה קנייניות או UNIX. בוויכוח זה אני  הייתי זה, שהוביל את הקו שתמך בהליכה ל UNIX.  במסגרת הוויכוח, כתבתי ניירות עבודה, הבאתי חומרים כתובים ומומחים, שהסבירו לאנשי הארגון את יכולות UNIX והתאמתה לארגון.

בפגישה עם הספק התברר לי באופן חד-משמעי, שכמעט כל ארגון בעולם, שעמד בפני אותה דילמה בחר ב UNIX. 
על סמך המידע הכתוב, שנתן לי הספק, היה מאד קל לנסות לקדם את האג'נדה ה UNIXית בארגון ולהמליץ על UNIX. חוכמת ההמונים ללא ספק הייתה מכריעה בכיוון זה.
במקום זה בחרתי להמליץ על מערכת ההפעלה הקניינית. במסמך שכתבתי, ציינתי באופן ברור, שכל העולם בוחר ב UNIX ולמרות זאת בחרתי אחרת וגם הסברתי מדוע.

הבחירה המנוגדת לחוכמת ההמונים נבעה ממאפיינים ייחודיים. מה שהכריע את הכף היה ניהול סיכונים. הערכתי שבגלל היעדר כישורים מקצועיים טובים מספיק ב  UNIX (בשונה מהניסיון והידע הרבים בסביבה הקניינית), עלול להביא לאיחור קריטי במועד הפעלת המערכת. במקרה גרוע יותר עלול להביא לקריסתה.
 
מאפיין ייחודי - כלכלת המשפחה

אם תעשו משאל של מספר רב של אנשים, התוצאה תהיה: המלצה חד-משמעית: אל תתערב במשהו שאינך מומחה בו, בניגוד לדעת אנשים שזה מקצועם. אתה יכול להטעות משפחה ויכול להיפגע בעצמך באמצעות תביעה משפטית או סתם פגיעה במוניטין.  


עוד לפני שנעשיתי יועץ ומאמן לכלכלת המשפחה, נתתי עצה כלכלית למשפחה. העצה שנתתי להם הייתה: אל תעשו את מה שיועץ ההשקעות בבנק שלכם מייעץ לכם. זו הייתה הפעם היחידה שעשיתי זאת. בכל יתר הפעמים ששאלו לדעתי, השבתי שאיני מומחה בתחום ההשקעות. המקסימום שאני יכול להגיד, זה כיצד הייתי נוהג, לו הייתי במצבם. 

מדוע הרשיתי לעצמי במקרה זה לנהוג בשונה מחוכמת ההמונים?
מאפיינים ייחודיים כמובן: מאפיינים ייחודיים למשפחה הכתיבו הוצאות גבוהות מהוצאות משפחה רגילה. במקרה זה (להבדיל ממרבית המקרים האחרים) עצתו של היועץ בבנק הייתה מופרכת לחלוטין.

המשפחה החליטה לשאול את ידיד המשפחה, במקצועו יועץ השקעות. היא חזרה עם התשובה: החבר שלכם (אני) צודק. יועץ ההשקעות בבנק טועה.

גם בתחילת עבודתי כיועץ בכלכלת המשפחה פעלתי באופן דומה. בחינת הביטוחים של משפחה, העלתה בעיות רבות וקשות. חוכמת ההמונים אומרת: אסור לך לייעץ בתחום בו אינך מוסמך.

במצב ייחודי זה בחרתי בדרך שונה: כתבתי מסמך שבראשו ציינתי, שאיני מוסמך לייעץ בנושאי ביטוח ולכן איני מייעץ. בהמשך כתבתי את דעתי על כל אחד מהביטוחים, שיש למשפחה ואיזה שאלות צריך לשאול. לסיכום כתבתי שאני מפנה אותם עם הדף ועם הפוליסות לסוכן ביטוח אחר בעל ידע וניסיון. כל מה שהוא יגיד ויתאים לדעתי עליהם לפעול בהתאם לדעתי. כל מה שהוא יגיד שונה, עליהם לפעול לפי דעתו.

השורה התחתונה: רק הבדל אחד בין דעתי ודעתו: הוא גילה בעיה נוספת, שברמת הידע שלי לא יכולתי לגלות. 

המאפיין הייחודי, המשותף לשני המקרים הוא זיהוי חוסר מקצועיות של אדם בתחום בו הוא מוסמך ונזק גדול למשפחה, אם תנהג לפי עצתו.  

  מאפיין ייחודי - אפריקה כמשל

אחד האתרים האהובים עלי הוא אתר ההרצאות של TED. הרצאתו של האיטלקי ארנסטו סירולי אותה אני מצרף בתחילת הפסקה הייתה  מעניינת במיוחד.
סירולי השתתף במספר רב של פרויקטים של חברה איטלקית באפריקה. החברה נכשלה בכל הפרויקטים. האיטלקים לא היו יוצאי דופן: אמריקאים ואירופאים נכשלו לא פחות.

לדעתו הסיבה העיקרית לכישלון הייתה פטרוניות כלפי המקומיים, שממנו נגזרה חוסר הקשבה. הלקח שהפיק בפרויקטים מוצלחים ברחבי העולם לאחר יישומו, היה הקשבה לאלה, שמנסים לסייע להם.  

אבל כיצד מקשיבים? סירולי חושב שלכנס את המקומיים ולשמוע את דעתם (סוג של חוכמת ההמונים), זה רעיון גרוע. הסיבה לכך היא, שבעלי הרעיונות המקוריים, הייחודיים והמשמעותיים לא מגיעים להתכנסות מסוג זה ולכן ממילא גם לא יביעו את דעתם שם.

הדרך המומלצת על ידו הן פגישות בארבע עיניים עם אנשים המזוהים כבעלי רעיונות ייחודיים.

מאפיין ייחודי - שחמט 

במשחק השחמט יש ערך לכל כלי. הכלי בעל הערך הנמוך ביותר הוא הרגלי (החייל) ששווה 1. המלכה היא הכלי בעל הערך הגבוה ביותר (למעט המלך שאובדנו פירושו הפסד המשחק). ערכה 8.5-8. הכלי בעל הערך השני הכי גבוה, הצריח, שווה 4.5-5.
כאשר מכים כלי מוגן, הכלי המגן מכה בחזרה, ולכן מכים בדרך כלל כלים מוגנים בעלי ערך רב יותר או שווה לכלי המכה. 

שחקנים טובים מבצעים לפעמים הקרבה: מכים כלי מוגן ששוויו פחות משווי הכלי המגן, על מנת לקבל יתרון עמדתי. 

מה תואמרו על השחקן הסובייטי היהודי דוד ברונשטיין, שהיה בשנת 1951 השחקן הטוב בעולם? ברונשטיין הכה באמצעות צריח (שווי 4.5-5) רגלי (שווי 1) המוגן על ידי שלושה כלים שונים. הכאה בכל אחד מהכלים הנ"ל מביאה להפסד של יריבו. 

השחקן האמריקאי פרנק מרשל (1877 - 1944), הקריב את מלכתו (8.5-8) תמורת רגלי (1). הרגלי היה מוגן על ידי ארבעה כלים. זה היה כל כך יוצא דופן, שהקהל השליך עליו מטבעות זהב.

ביצוע הקרבה מהסוג שביצעו ברונשטיין ומרשל, מחייב זיהוי מאפיין ייחודי של המצב, ששחקנים טובים, שאינם מומחים, יתקשו מאד לזהותו. חוכמת ההמונים לא תושיע מישהו, שינסה לבקש את עזרתם במצב כזה.

לסיכום
בשני החלקים של הפוסט, הבאתי לא מעט דוגמאות למצבים בהם, שימוש בחוכמת ההמונים עלול שלא להועיל ואפילו להזיק. המצבים מאופיינים באינטראקציה חברתית בין האנשים המביעים את דעתם ו/או במאפיינים ייחודיים למצב, שמרבית האנשים לא יבחינו בהם.

אין די למצוא בין ההמונים מעטים שיזהו מאפיינים ייחודיים כאלה. גם מי שמנסה לקבל את ההחלטה על בסיס חוכמת ההמונים, צריך להבין שאותם מעטים, אכן זיהו מאפיינים ייחודיים לבעיה ופתרו אותה: משימה הרחוקה מלהיות פשוטה.